Andre, de fato o nome popular é variável conforme a região, mas o mais aceito é jasmim-anão, Gardênia, na verdade.
Quanto ao caminho a ele, acho que teria que escolher uma linha de tronco, retirando todo o restante a fim de obter novas brotações para formar a estrutura da planta. As fotos, devido ao problema de profundidade podem enganar, mas coloquei aí uma possibilidade. Deixar apenas a linha marcada em vermelho. Isso poderia ser feito logo, porém, o galho que segue acima da linha de vermelho, deixar por enquanto, cortando ele no fim da linha vermelha somente no final de agosto início de setembro. O que se espera: farta brotação em todos os pontos. Daí se deixará os galhos melhor localizados, nos cotovelos das curvas, galho de fundo, etc... Mas se você, observando a planta ao vivo, perceber uma linha de tronco mais adequada do que esta que marquei, siga por aí.
abraço